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물리학 강의 노트

개념완성

PMNS 행렬 (PMNS Matrix)

1. 렙톤 혼합 행렬

CKM 행렬이 쿼크 섹터의 맛 혼합을 기술하듯이, PMNS 행렬(Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata matrix)은 렙톤 섹터에서 뉴트리노의 맛 고유상태와 질량 고유상태 사이의 혼합을 기술한다.

정의6.1PMNS 행렬

뉴트리노의 맛 고유상태 να\nu_\alpha (α=e,μ,τ\alpha = e, \mu, \tau)와 질량 고유상태 νi\nu_i (i=1,2,3i = 1, 2, 3) 사이의 관계:

(νeνμντ)=UPMNS(ν1ν2ν3)\begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_\mu \\ \nu_\tau \end{pmatrix} = U_{\text{PMNS}} \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \\ \nu_3 \end{pmatrix}UPMNS=(Ue1Ue2Ue3Uμ1Uμ2Uμ3Uτ1Uτ2Uτ3)U_{\text{PMNS}} = \begin{pmatrix} U_{e1} & U_{e2} & U_{e3} \\ U_{\mu1} & U_{\mu2} & U_{\mu3} \\ U_{\tau1} & U_{\tau2} & U_{\tau3} \end{pmatrix}

약한 하전 전류 라그랑지안에서:

LCC⊃−g2∑α,iℓˉαγμPLUαiνiWμ−+h.c.\mathcal{L}_{\text{CC}} \supset -\frac{g}{\sqrt{2}} \sum_{\alpha,i} \bar{\ell}_\alpha \gamma^\mu P_L U_{\alpha i} \nu_i W_\mu^- + \text{h.c.}

2. 표준 매개변수화

정의6.2PMNS 행렬의 매개변수화

CKM 행렬과 동일한 표준 매개변수화를 사용한다:

UPMNS=(1000c23s230−s23c23)(c130s13e−iδ010−s13eiδ0c13)(c12s120−s12c120001)⋅PU_{\text{PMNS}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{13} & 0 & s_{13}e^{-i\delta} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13}e^{i\delta} & 0 & c_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot P=(c12c13s12c13s13e−iδ−s12c23−c12s23s13eiδc12c23−s12s23s13eiδs23c13s12s23−c12c23s13eiδ−c12s23−s12c23s13eiδc23c13)⋅P= \begin{pmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12}c_{13} & s_{13}e^{-i\delta} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} & s_{23}c_{13} \\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} & c_{23}c_{13} \end{pmatrix} \cdot P

여기서 P=diag(1,eiα21/2,eiα31/2)P = \text{diag}(1, e^{i\alpha_{21}/2}, e^{i\alpha_{31}/2})는 마요라나 위상 행렬이다.

각 인자의 물리적 의미:

  • θ12≈33.4°\theta_{12} \approx 33.4°: 태양 혼합각 (태양 뉴트리노 진동을 지배)
  • θ23≈47.6°\theta_{23} \approx 47.6°: 대기 혼합각 (대기 뉴트리노 진동을 지배, 거의 최대)
  • θ13≈8.5°\theta_{13} \approx 8.5°: 반응로 혼합각 (2012년 원자로 실험에서 측정)
  • δ\delta: 디랙 CP 위반 위상
  • α21\alpha_{21}, α31\alpha_{31}: 마요라나 위상 (뉴트리노가 마요라나 입자일 때만 물리적)

3. CKM 행렬과의 비교

참고쿼크-렙톤 상보성

CKM 행렬과 PMNS 행렬의 혼합 패턴은 극적으로 다르다:

| 성질 | CKM (쿼크) | PMNS (렙톤) | |:---:|:---:|:---:| | θ12\theta_{12} | 13.0°13.0° (카비보각) | 33.4°33.4° (큰 혼합) | | θ23\theta_{23} | 2.4°2.4° (작은 혼합) | 47.6°47.6° (거의 최대) | | θ13\theta_{13} | 0.20°0.20° (매우 작음) | 8.5°8.5° (작지만 유의미) | | 전체 구조 | 거의 단위 행렬 | 큰 혼합 |

흥미롭게도 θ12CKM+θ12PMNS≈46°≈45°\theta_{12}^{\text{CKM}} + \theta_{12}^{\text{PMNS}} \approx 46° \approx 45°라는 경험적 관계가 관측된다. 이를 쿼크-렙톤 상보성(quark-lepton complementarity)이라 부르나, 이것이 근본적인 관계인지 우연의 일치인지는 알려져 있지 않다.

CKM 행렬의 계층 구조와 달리 PMNS 행렬의 큰 혼합각은 렙톤 섹터에 숨겨진 맛 대칭(flavor symmetry)의 존재를 시사할 수 있다.

4. 맛 대칭 모형

정의6.3혼합 패턴 가설

실험 데이터를 설명하기 위해 여러 특수한 혼합 패턴이 제안되었다:

삼-이중 최대 혼합 (Tri-bimaximal, TBM):

UTBM=(2/31/30−1/61/31/21/6−1/31/2)U_{\text{TBM}} = \begin{pmatrix} \sqrt{2/3} & 1/\sqrt{3} & 0 \\ -1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}

예측: sin⁡2θ12=1/3\sin^2\theta_{12} = 1/3, sin⁡2θ23=1/2\sin^2\theta_{23} = 1/2, θ13=0\theta_{13} = 0

θ13≠0\theta_{13} \neq 0의 발견으로 순수 TBM은 배제되었지만, θ13\theta_{13}의 보정을 가한 변형 모형은 여전히 유효하다.

이러한 혼합 패턴은 이산 맛 대칭군(A4A_4, S4S_4, Δ(27)\Delta(27) 등)으로부터 유도될 수 있다. 예를 들어, A4A_4 (4차 교대군)는 TBM 혼합을 자연스럽게 생성한다.

5. 마요라나 위상

정의6.4마요라나 위상의 물리적 의미

뉴트리노가 마요라나 입자(자신의 반입자와 동일)이면, PMNS 행렬에 두 개의 추가 CP 위반 위상 α21\alpha_{21}, α31\alpha_{31}이 존재한다. 이들은:

  1. 뉴트리노 진동에는 영향을 미치지 않는다 -- 진동 확률은 ∣Uαi∣2|U_{\alpha i}|^2의 조합으로 표현되며, 마요라나 위상은 상쇄된다.

  2. 뉴트리노 비동반 이중 베타 붕괴(neutrinoless double beta decay, 0νββ0\nu\beta\beta)의 진폭에 영향을 미친다:

⟨mββ⟩=∣∑i=13Uei2mi∣=∣c122c132m1+s122c132m2eiα21+s132m3ei(α31−2δ)∣\langle m_{\beta\beta} \rangle = \left| \sum_{i=1}^{3} U_{ei}^2 m_i \right| = \left| c_{12}^2 c_{13}^2 m_1 + s_{12}^2 c_{13}^2 m_2 e^{i\alpha_{21}} + s_{13}^2 m_3 e^{i(\alpha_{31} - 2\delta)} \right|

⟨mββ⟩\langle m_{\beta\beta} \rangle는 유효 마요라나 질량이라 불리며, 마요라나 위상에 의한 상쇄 또는 보강 간섭이 가능하다.

예제이중 베타 붕괴를 통한 마요라나 성질 탐색

뉴트리노 비동반 이중 베타 붕괴 (0νββ0\nu\beta\beta):

(A,Z)→(A,Z+2)+2e−(A, Z) \to (A, Z+2) + 2e^-

이 과정은 렙톤 수를 2만큼 위반하며, 뉴트리노가 마요라나 입자일 때만 가능하다. 붕괴율은:

[τ1/20ν]−1=G0ν(Q,Z)∣M0ν∣2⟨mββ⟩2\left[\tau_{1/2}^{0\nu}\right]^{-1} = G^{0\nu}(Q, Z) |M^{0\nu}|^2 \langle m_{\beta\beta} \rangle^2

여기서 G0νG^{0\nu}는 위상 공간 인자, ∣M0ν∣|M^{0\nu}|는 핵 행렬 원소이다.

현재 가장 강한 실험적 제한 (KamLAND-Zen, 136^{136}Xe):

τ1/20ν>2.3×1026  yr(90%  C.L.)\tau_{1/2}^{0\nu} > 2.3 \times 10^{26}\;\text{yr} \quad (90\%\;\text{C.L.})

이로부터 ⟨mββ⟩<36–156  meV\langle m_{\beta\beta} \rangle < 36\text{--}156\;\text{meV} (핵 행렬 원소의 불확도 포함). 역전 질량 순서는 ⟨mββ⟩≳15  meV\langle m_{\beta\beta} \rangle \gtrsim 15\;\text{meV}를 예측하므로, 차세대 실험이 이를 탐색할 수 있다.

6. PMNS 행렬의 유니터리 검증

유도유니터리 삼각형 (렙톤 섹터)

CKM 행렬의 유니터리 삼각형과 유사하게, PMNS 행렬의 유니터리 조건으로부터 렙톤 섹터의 유니터리 삼각형을 정의할 수 있다:

Ue1Uμ1∗+Ue2Uμ2∗+Ue3Uμ3∗=0U_{e1}U_{\mu1}^* + U_{e2}U_{\mu2}^* + U_{e3}U_{\mu3}^* = 0

야를스코그 불변량의 렙톤 버전:

JCPlep=Im(Ue1Uμ2Ue2∗Uμ1∗)=18sin⁡2θ12sin⁡2θ23sin⁡2θ13cos⁡θ13sin⁡δJ_{CP}^{\text{lep}} = \text{Im}(U_{e1}U_{\mu2}U_{e2}^*U_{\mu1}^*) = \frac{1}{8}\sin 2\theta_{12}\sin 2\theta_{23}\sin 2\theta_{13}\cos\theta_{13}\sin\delta

현재 측정된 혼합각을 사용하면:

JCPlep≈0.033sin⁡δJ_{CP}^{\text{lep}} \approx 0.033\sin\delta

CKM의 J≈3×10−5J \approx 3 \times 10^{-5}에 비해 렙톤 섹터의 잠재적 CP 위반 효과가 ∼1000\sim 1000배 크다. 이는 렙톤 혼합각이 크기 때문이다.

PMNS 행렬의 유니터리가 깨진다면 (예: 비활성 뉴트리노의 존재), 이는 3×33 \times 3 부분 행렬의 행 또는 열의 규격화 조건 위반으로 나타난다:

∑i=13∣Uαi∣2=1−∣Uα4∣2−⋯<1\sum_{i=1}^{3} |U_{\alpha i}|^2 = 1 - |U_{\alpha 4}|^2 - \cdots < 1

현재까지의 데이터는 PMNS 행렬의 3×33 \times 3 유니터리와 일치하나, 정밀도는 아직 ∼10%\sim 10\% 수준이다.

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참고렙톤 CP 위반과 렙톤 생성

PMNS 행렬의 디랙 위상 δ\delta가 0이 아니면 렙톤 섹터에서 CP가 위반된다. 이는 렙톤 생성(leptogenesis)을 통한 바리온 비대칭 설명의 핵심 요소가 될 수 있다.

렙톤 생성 시나리오에서는 무거운 오른손잡이 뉴트리노 NiN_i의 붕괴에서의 CP 위반이 렙톤 비대칭을 생성하고, 이것이 스팔레론 과정에 의해 바리온 비대칭으로 전환된다. 그러나 고에너지 렙톤 생성에서의 CP 위반 위상은 저에너지에서 측정 가능한 δ\delta와 직접적으로 대응하지 않을 수 있으며, 이 관계는 시소(seesaw) 메커니즘의 세부 구조에 의존한다.