남부-고토 작용 (Nambu-Goto Action)

1. 동기: 점입자에서 끈으로

상대론적 점입자의 작용(action)은 세계선(worldline)의 고유 길이에 비례한다.

S_{\text{particle}} = -m \int d\tau \, \sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu}

여기서 $\dot{X}^\mu = dX^\mu / d\tau$ 이다. 이 작용은 세계선의 기하학적 불변량 — 고유 길이(proper length) — 으로부터 자연스럽게 구성된다. 1차원 객체인 끈(string)으로 일반화하면, 세계선은 세계면(worldsheet)으로 확장되고, 고유 길이는 고유 넓이(proper area)로 대체된다.

참고차원 계수

점입자의 질량 $m$ 에 대응하는 끈의 매개변수는 끈 장력(string tension) $T$ 이다. 이는 단위 길이당 에너지의 차원을 가지며, $T = 1/(2\pi\alpha')$ 로 정의된다. 여기서 $\alpha'$ 는 레게 기울기(Regge slope)라 불리는 끈이론의 기본 매개변수이다.

2. 남부-고토 작용의 정의

정의1.1남부-고토 작용

$D$ 차원 민코프스키 시공간 $(\mathbb{R}^{1,D-1}, \eta_{\mu\nu})$ 에 매장된 끈의 세계면 $\Sigma$ 를 매개변수 $(\tau, \sigma) = (\sigma^0, \sigma^1)$ 로 기술할 때, 남부-고토 작용은 다음과 같다.

S_{\text{NG}} = -T \int_\Sigma d\tau \, d\sigma \, \sqrt{-\det(h_{ab})}

여기서 $h_{ab}$ 는 유도 계량(induced metric)으로, 다음과 같이 정의된다.

h_{ab} = \eta_{\mu\nu} \, \partial_a X^\mu \, \partial_b X^\nu, \quad a, b \in \{0, 1\}

유도 계량의 행렬식을 명시적으로 전개하면 다음을 얻는다.

\det(h_{ab}) = (\dot{X} \cdot X')^2 - \dot{X}^2 \, X'^2

여기서 점(dot)은 $\tau$ -미분, 프라임(prime)은 $\sigma$ -미분을 나타내며, 내적은 $A \cdot B = \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu$ 이다. 따라서 남부-고토 작용은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

S_{\text{NG}} = -T \int d\tau \, d\sigma \, \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - \dot{X}^2 \, X'^2}

3. 기하학적 의미

남부-고토 작용은 세계면의 고유 넓이(proper area)에 비례한다. 이를 확인하기 위해, 세계면 위의 미소 넓이 원소를 계산하자.

dA = \sqrt{-\det(h_{ab})} \, d\tau \, d\sigma

따라서

S_{\text{NG}} = -T \cdot \text{Area}(\Sigma)

이다. 끈의 운동은 세계면의 넓이를 극소화(extremize)하는 경로를 따른다. 이것은 비누막(soap film)이 극소 곡면(minimal surface)을 형성하는 것과 정확히 같은 원리이다.

참고재매개변수화 불변성

남부-고토 작용은 세계면 좌표 $(\tau, \sigma) \to (\tilde{\tau}(\tau,\sigma), \tilde{\sigma}(\tau,\sigma))$ 의 임의적 재매개변수화(reparametrization)에 대해 불변이다. 이는 $\sqrt{-\det(h_{ab})}$ 가 스칼라 밀도(scalar density)이기 때문이다. 이 대칭은 끈 이론에서 세계면의 미분동형 불변성(diffeomorphism invariance)에 해당한다.

4. 운동방정식

남부-고토 작용의 변분 $\delta S_{\text{NG}} = 0$ 으로부터 운동방정식을 유도하자. 라그랑지안 밀도를 $\mathcal{L} = -T\sqrt{-\det(h_{ab})}$ 로 놓으면, 정준 운동량(canonical momenta)은 다음과 같다.

\Pi_\mu^\tau = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{X}^\mu} = -T \frac{X'_\mu (\dot{X} \cdot X') - X'^2 \dot{X}_\mu}{\sqrt{-\det(h_{ab})}}

\Pi_\mu^\sigma = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X'^\mu} = -T \frac{\dot{X}_\mu (\dot{X} \cdot X') - \dot{X}^2 X'_\mu}{\sqrt{-\det(h_{ab})}}

유도남부-고토 운동방정식

오일러-라그랑주 방정식을 적용하면

\partial_\tau \Pi_\mu^\tau + \partial_\sigma \Pi_\mu^\sigma = 0

을 얻는다. 이를 명시적으로 쓰면

\partial_a \left( \sqrt{-h} \, h^{ab} \, \partial_b X^\mu \right) = 0

이 된다. 여기서 $h = \det(h_{ab})$ 이고 $h^{ab}$ 는 $h_{ab}$ 의 역행렬이다.

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5. 경계조건

열린 끈(open string)의 경우 $\sigma \in [0, \pi]$ 이고, 경계에서의 변분으로부터 다음 경계조건이 도출된다.

\Pi_\mu^\sigma \big|_{\sigma=0,\pi} = 0 \quad \text{(노이만 경계조건)}

이는 끈의 양 끝점에서 운동량 흐름이 없다는 것을 의미한다. 디리클레 경계조건

\delta X^\mu \big|_{\sigma=0,\pi} = 0

도 가능하며, 이 경우 끈의 끝점은 고정된 초곡면 위에 놓인다 — 이것이 바로 D-브레인의 기원이다.

닫힌 끈(closed string)의 경우에는 주기적 경계조건

X^\mu(\tau, \sigma + 2\pi) = X^\mu(\tau, \sigma)

을 부과한다.

6. 남부-고토 작용의 한계

남부-고토 작용은 기하학적으로 투명하지만, 제곱근 속의 비선형성 때문에 양자화가 어렵다. 구체적으로:

경로적분 양자화: $\sqrt{-\det(h_{ab})}$ 를 포함한 경로적분의 측도(measure) 정의가 복잡하다.
정준 양자화: 운동량 사이에 비선형 구속조건(constraint)이 존재한다.

\Pi^\tau \cdot X' = 0, \quad \Pi^{\tau 2} + T^2 X'^2 = 0

이러한 어려움을 해결하기 위해 도입된 것이 폴야코프 작용(Polyakov action)이다. 폴야코프 작용은 보조 세계면 계량 $\gamma_{ab}$ 를 도입하여 제곱근을 제거하고, 고전적으로는 남부-고토 작용과 동치이지만 양자화에 훨씬 유리한 형태를 제공한다.

예제평평한 시공간에서의 정적 끈

정적 배위(static configuration) $X^0 = \tau$ , $X^1 = \sigma$ , $X^i = \text{const}$ ( $i \geq 2$ )를 고려하자. 유도 계량은

h_{ab} = \eta_{ab} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

이므로 $\sqrt{-\det(h_{ab})} = 1$ 이다. 이 경우 남부-고토 작용은

S_{\text{NG}} = -T \int d\tau \, d\sigma

로 단순히 세계면의 좌표 넓이에 비례하며, 이는 정지한 끈이 단위 길이당 에너지 $T$ 를 가진다는 것을 확인해 준다.