폴야코프 작용 (Polyakov Action)

1. 동기: 보조 계량의 도입

남부-고토 작용 $S_{\text{NG}} = -T \int d^2\sigma \sqrt{-\det(h_{ab})}$ 는 제곱근 내부의 비선형성 때문에 양자화가 곤란하다. 브링크-디 베키아-하우(Brink-Di Vecchia-Howe) 및 데세르-주미노(Deser-Zumino)가 독립적으로 제안하고, 폴야코프(Polyakov)가 경로적분 양자화에 활용한 작용은 독립적인 세계면 계량 $\gamma_{ab}(\tau,\sigma)$ 를 보조장(auxiliary field)으로 도입함으로써 이 문제를 해결한다.

2. 폴야코프 작용의 정의

정의1.2폴야코프 작용

$D$ 차원 시공간 $(\mathbb{R}^{1,D-1}, \eta_{\mu\nu})$ 에 매장된 끈의 세계면을 내재적 계량(intrinsic metric) $\gamma_{ab}$ 를 가진 2차원 다양체로 기술할 때, 폴야코프 작용은 다음과 같다.

S_P = -\frac{T}{2} \int_\Sigma d^2\sigma \, \sqrt{-\gamma} \, \gamma^{ab} \, \partial_a X^\mu \, \partial_b X_\mu

여기서 $\gamma = \det(\gamma_{ab})$ 이고, $\gamma^{ab}$ 는 $\gamma_{ab}$ 의 역행렬이다.

이 작용은 세계면 위의 $D$ 개의 스칼라장 $X^\mu(\tau,\sigma)$ 가 2차원 중력 $\gamma_{ab}$ 와 결합한 시스템으로 해석된다. 핵심적으로, 작용이 $X^\mu$ 에 대해 이차(quadratic)이므로 양자화가 훨씬 용이해진다.

3. 대칭성

폴야코프 작용은 세 가지 국소 대칭(local symmetry)을 가진다.

법칙1.1폴야코프 작용의 대칭

(i) 푸앵카레 불변성 (Poincare invariance):

X^\mu \to \Lambda^\mu_{\ \nu} X^\nu + a^\mu, \quad \gamma_{ab} \to \gamma_{ab}

(ii) 세계면 미분동형 불변성 (Worldsheet diffeomorphism invariance):

$\sigma^a \to \tilde{\sigma}^a(\sigma)$ 에 대해 $X^\mu$ 는 스칼라, $\gamma_{ab}$ 는 2차 텐서로 변환된다.

(iii) 바일 불변성 (Weyl invariance):

\gamma_{ab}(\sigma) \to e^{2\omega(\sigma)} \gamma_{ab}(\sigma), \quad X^\mu(\sigma) \to X^\mu(\sigma)

임의의 함수 $\omega(\sigma)$ 에 대해 작용이 불변이다.

바일 불변성은 2차원에서만 성립하는 특별한 대칭이다. 이를 확인하려면 $\sqrt{-\gamma} \to e^{2\omega} \sqrt{-\gamma}$ 이고 $\gamma^{ab} \to e^{-2\omega} \gamma^{ab}$ 이므로, $\sqrt{-\gamma}\,\gamma^{ab}$ 는 2차원에서 바일 변환에 불변임을 관찰하면 된다. 일반적으로 $d$ 차원에서는 $\sqrt{-\gamma}\,\gamma^{ab} \to e^{(d-2)\omega}\sqrt{-\gamma}\,\gamma^{ab}$ 이므로 $d=2$ 에서만 바일 불변성이 성립한다.

4. 남부-고토 작용과의 동치성

유도폴야코프 작용에서 남부-고토 작용으로의 환원

$\gamma_{ab}$ 에 대한 운동방정식을 구하기 위해 $\delta S_P / \delta \gamma^{ab} = 0$ 을 계산하자. 세계면 에너지-운동량 텐서를 다음과 같이 정의한다.

T_{ab} = -\frac{2}{T} \frac{1}{\sqrt{-\gamma}} \frac{\delta S_P}{\delta \gamma^{ab}}

계산하면

T_{ab} = \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu - \frac{1}{2} \gamma_{ab} \gamma^{cd} \partial_c X^\mu \partial_d X_\mu = 0

이 방정식을 풀면 $\gamma_{ab}$ 는 유도 계량 $h_{ab} = \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu$ 에 비례해야 한다:

\gamma_{ab} = e^{2\phi} h_{ab}

여기서 $e^{2\phi}$ 는 임의의 바일 인수이다. 이를 폴야코프 작용에 대입하면

S_P \big|_{\gamma_{ab} = e^{2\phi} h_{ab}} = -T \int d^2\sigma \, \sqrt{-\det(h_{ab})} = S_{\text{NG}}

를 얻는다. 따라서 두 작용은 고전적으로 동치(classically equivalent)이다.

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5. 게이지 고정: 등각 게이지

미분동형 불변성(2개의 함수)과 바일 불변성(1개의 함수)을 합하면 3개의 게이지 자유도가 있다. 2차원 계량 $\gamma_{ab}$ 는 3개의 독립 성분을 가지므로, 모든 게이지 자유도를 고정하여 계량을 평평한 계량(flat metric)으로 놓을 수 있다.

\gamma_{ab} = \eta_{ab} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

이를 등각 게이지(conformal gauge)라 한다. 이 게이지에서 폴야코프 작용은 극히 단순한 형태를 취한다.

S_P = \frac{T}{2} \int d^2\sigma \, \left( \dot{X}^\mu \dot{X}_\mu - X'^\mu X'_\mu \right)

이것은 $D$ 개의 자유 스칼라장에 대한 2차원 작용이다. 운동방정식은 파동방정식이 된다.

\left( \partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2 \right) X^\mu = 0

참고구속조건의 보존

등각 게이지를 채택하더라도, $\gamma_{ab}$ 의 운동방정식 $T_{ab} = 0$ 은 여전히 구속조건(constraint)으로 부과되어야 한다. 등각 게이지에서 이 조건은

T_{01} = \dot{X} \cdot X' = 0

T_{00} = T_{11} = \frac{1}{2}(\dot{X}^2 + X'^2) = 0

이다. 이는 남부-고토 형식론에서의 비라소로 구속조건(Virasoro constraints)과 일치한다.

6. 경로적분 양자화

폴야코프 작용의 진가는 경로적분 양자화에서 드러난다. 분배함수는 다음과 같다.

Z = \int \frac{\mathcal{D}\gamma_{ab} \, \mathcal{D}X^\mu}{\text{Vol(Diff} \times \text{Weyl)}} \, e^{-S_P[\gamma, X]}

게이지 대칭의 부피를 파데예프-포포프(Faddeev-Popov) 절차로 나누면, 고스트장(ghost fields) $b_{ab}$ , $c^a$ 가 도입된다.

Z = \int \mathcal{D}X^\mu \, \mathcal{D}b \, \mathcal{D}c \, e^{-S_P[X] - S_{\text{ghost}}[b,c]}

여기서 고스트 작용은

S_{\text{ghost}} = \frac{1}{2\pi} \int d^2\sigma \, \sqrt{-\gamma} \, b_{ab} \nabla^a c^b

이다. 물질장 $X^\mu$ 의 중심 전하는 $c_X = D$ 이고, $bc$ -고스트계의 중심 전하는 $c_{\text{ghost}} = -26$ 이다. 바일 이상(Weyl anomaly)의 소거 — 등각 불변성의 양자적 보존 — 를 위해서는

c_{\text{total}} = D - 26 = 0

이 필요하다. 이로써 보존 끈 이론의 임계 차원(critical dimension)이 $D = 26$ 임이 결정된다.

예제바일 이상의 물리적 의미

만약 $D \neq 26$ 이면 바일 이상이 남아 있어, 세계면 계량의 종적 모드(longitudinal mode)가 물리적 자유도로 남게 된다. 이 추가 자유도는 음의 노름(negative norm)을 가진 고스트 상태를 초래하여 이론의 유니터리성(unitarity)을 깨뜨린다. $D = 26$ 에서만 이 모드가 정확히 소거되어 일관된 양자 이론이 된다.