끈의 스펙트럼 (String Spectrum)

1. 모드 전개

등각 게이지에서 파동방정식 $(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0$ 의 일반해를 좌진행(left-moving)과 우진행(right-moving)으로 분해한다.

닫힌 끈 ( $\sigma \sim \sigma + 2\pi$ ):

X^\mu(\tau,\sigma) = x^\mu + \alpha' p^\mu \tau + i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}} \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \left( \alpha_n^\mu e^{-in(\tau-\sigma)} + \tilde{\alpha}_n^\mu e^{-in(\tau+\sigma)} \right)

열린 끈 (노이만 경계조건, $\sigma \in [0,\pi]$ ):

X^\mu(\tau,\sigma) = x^\mu + 2\alpha' p^\mu \tau + i\sqrt{2\alpha'} \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_n^\mu e^{-in\tau} \cos(n\sigma)

여기서 실수 조건 $(X^\mu)^\dagger = X^\mu$ 로부터 $(\alpha_n^\mu)^\dagger = \alpha_{-n}^\mu$ 이 성립한다.

2. 정준 양자화

정의1.3끈 진동자 대수

정준 교환관계 $[X^\mu(\tau,\sigma), \Pi^\nu(\tau,\sigma')] = i\eta^{\mu\nu}\delta(\sigma-\sigma')$ 로부터 진동자(oscillator) 모드의 교환관계가 유도된다.

[\alpha_m^\mu, \alpha_n^\nu] = m \, \delta_{m+n,0} \, \eta^{\mu\nu}

[\tilde{\alpha}_m^\mu, \tilde{\alpha}_n^\nu] = m \, \delta_{m+n,0} \, \eta^{\mu\nu}

[x^\mu, p^\nu] = i\eta^{\mu\nu}

닫힌 끈의 경우 좌진행과 우진행 진동자는 서로 교환한다: $[\alpha_m^\mu, \tilde{\alpha}_n^\nu] = 0$ .

양(positive)의 $n$ 을 가진 $\alpha_n^\mu$ 는 소멸 연산자(annihilation operator), 음(negative)의 $n$ 을 가진 $\alpha_{-n}^\mu$ 는 생성 연산자(creation operator)의 역할을 한다. 포크 공간(Fock space)의 진공 $|0; p\rangle$ 는 다음으로 정의된다.

\alpha_n^\mu |0; p\rangle = 0, \quad \forall \, n > 0

3. 비라소로 연산자와 질량 공식

정의1.4비라소로 연산자

세계면 에너지-운동량 텐서의 모드 전개로부터 비라소로 연산자(Virasoro operators) $L_n$ 이 정의된다.

L_n = \frac{1}{2} \sum_{m=-\infty}^{\infty} :\!\alpha_{n-m} \cdot \alpha_m\!:

여기서 $:\cdots:$ 는 정규 순서(normal ordering)를 나타낸다. 닫힌 끈의 경우 $\tilde{L}_n$ 도 동일하게 정의된다.

정규 순서에 의한 영점 에너지(zero-point energy)를 $a$ 로 표기하면, 물리적 상태 조건(physical state condition)은 다음과 같다.

(L_0 - a) |\text{phys}\rangle = 0, \quad L_n |\text{phys}\rangle = 0 \quad (n > 0)

유도질량-껍질 조건

$L_0 = \frac{\alpha'}{4}p^2 + N$ (닫힌 끈), $L_0 = \alpha' p^2 + N$ (열린 끈)으로 표현되며, 여기서 $N = \sum_{n=1}^\infty \alpha_{-n} \cdot \alpha_n$ 은 수 연산자(number operator)이다.

열린 끈 질량 공식:

\alpha' M^2 = N - a

닫힌 끈 질량 공식:

\frac{\alpha'}{4} M^2 = N - a = \tilde{N} - a

마지막 등호는 준위 맞춤 조건(level-matching condition) $N = \tilde{N}$ 이다. 정규 순서 상수는 $D = 26$ 에서 $a = 1$ 로 결정된다.

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4. 열린 끈 스펙트럼

각 준위별 상태를 분석하자.

준위 $N = 0$ (타키온):

\alpha' M^2 = -1 < 0

질량 제곱이 음수인 타키온(tachyon) 상태 $|0; p\rangle$ 이다. 이는 보존 끈 이론의 불안정성을 나타내며, 초끈 이론으로의 전환을 동기부여한다.

준위 $N = 1$ (비질량 벡터):

\alpha' M^2 = 0

상태 $\zeta_\mu \alpha_{-1}^\mu |0; p\rangle$ 이며, 비라소로 조건 $L_1|\text{phys}\rangle = 0$ 으로부터 횡파 조건(transversality) $\zeta \cdot p = 0$ 이 도출된다. 이는 비질량(massless) 벡터 보존(vector boson), 즉 게이지장(gauge field)에 해당한다. 물리적 자유도는 $D-2 = 24$ 개이다.

준위 $N = 2$ (질량 상태):

\alpha' M^2 = 1

$\alpha_{-2}^\mu |0;p\rangle$ 과 $\alpha_{-1}^\mu \alpha_{-1}^\nu |0;p\rangle$ 에 의해 생성되며, 질량을 가진 대칭 텐서장 등으로 분해된다.

참고레게 궤적

질량의 제곱 $M^2$ 이 스핀 $J$ 에 대해 선형으로 증가하는 관계 $J = \alpha' M^2 + a$ 를 레게 궤적(Regge trajectory)이라 한다. 이는 역사적으로 강한 상호작용의 하드론 스펙트럼을 설명하기 위해 제안되었던 관계와 일치한다.

5. 닫힌 끈 스펙트럼

준위 $N = \tilde{N} = 0$ (타키온):

\frac{\alpha'}{4} M^2 = -1 \implies \alpha' M^2 = -4

닫힌 끈 타키온이다.

준위 $N = \tilde{N} = 1$ (비질량 상태):

M^2 = 0

상태는 $\zeta_{\mu\nu} \alpha_{-1}^\mu \tilde{\alpha}_{-1}^\nu |0;p\rangle$ 이다. 텐서 $\zeta_{\mu\nu}$ 를 $\text{SO}(D-2)$ 의 기약 표현으로 분해하면 세 가지 성분을 얻는다.

정의1.5닫힌 끈의 비질량 스펙트럼

(i) 대칭 무흔적 텐서 — 중력자 (graviton) $G_{\mu\nu}$ :

\zeta_{(\mu\nu)} - \frac{1}{D-2}\eta_{\mu\nu}\zeta^\lambda_{\ \lambda}

스핀-2 비질량 입자로, 일반상대론의 중력자에 해당한다. 이것이 끈 이론이 양자 중력 이론인 근본적 이유이다.

(ii) 반대칭 텐서 — 칼브-라몬드장 (Kalb-Ramond field) $B_{\mu\nu}$ :

\zeta_{[\mu\nu]}

2-형식(2-form) 게이지장이다.

(iii) 스칼라 — 딜라톤 (dilaton) $\Phi$ :

\zeta^\mu_{\ \mu}

끈 결합 상수 $g_s = e^{\langle\Phi\rangle}$ 를 결정하는 스칼라장이다.

6. 빛원뿔 양자화와 노고 정리

유도임계 차원의 결정

빛원뿔 양자화(light-cone quantization)에서는 빛원뿔 좌표 $X^\pm = (X^0 \pm X^{D-1})/\sqrt{2}$ 를 도입하고 $X^+ = x^+ + p^+ \tau$ 로 게이지를 고정한다. 이 경우 물리적 자유도는 $X^i$ ( $i = 1, \ldots, D-2$ )뿐이며, $X^-$ 는 비라소로 구속조건으로부터 결정된다.

로렌츠 대수의 교환관계가 양자 수준에서 일관되려면

[J^{i-}, J^{j-}] = 0

이 성립해야 한다. 명시적 계산은 이 조건이 오직

D = 26, \quad a = 1

일 때만 만족됨을 보여준다. $D \neq 26$ 이면 로렌츠 불변성이 깨진다.

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예제상태 수 세기

열린 끈의 준위 $N = 2$ 에서 물리적 상태의 수를 세어 보자. $D = 26$ 이면 횡적 방향의 수는 $d = 24$ 이다. $\alpha_{-2}^i |0;p\rangle$ 로부터 $d = 24$ 개, $\alpha_{-1}^i\alpha_{-1}^j |0;p\rangle$ 로부터 $d(d+1)/2 = 300$ 개의 상태가 있다. 비라소로 조건에 의한 구속을 적용하면, 최종적으로 $\text{SO}(24)$ 의 대칭 무흔적 텐서 표현 $\mathbf{324}$ 에 해당하는 $324$ 개의 물리적 상태를 얻는다. 이는 스핀 $J = 2$ 인 질량 상태에 대응한다.