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물리학 강의 노트

개념완성

세계면 등각장론 (Worldsheet CFT)

1. 2차원 등각 대칭

2차원에서 등각 변환(conformal transformation)은 복소 좌표 z=eτ+iσz = e^{\tau + i\sigma}에 대한 정칙 함수(holomorphic function)

z→f(z),zˉ→fˉ(zˉ)z \to f(z), \quad \bar{z} \to \bar{f}(\bar{z})

로 주어진다. 이 변환의 무한소 생성자(infinitesimal generator)는 ℓn=−zn+1∂z\ell_n = -z^{n+1}\partial_z로 주어지며, 비트 대수(Witt algebra)를 만족한다.

[ℓm,ℓn]=(m−n)ℓm+n[\ell_m, \ell_n] = (m - n)\ell_{m+n}

이 대수의 중심 확장(central extension)이 바로 비라소로 대수(Virasoro algebra)이다.

정의2.1비라소로 대수

비라소로 대수는 생성자 {Ln}n∈Z\{L_n\}_{n \in \mathbb{Z}}와 중심 원소(central element) cc로 이루어지며, 다음 교환관계를 만족한다.

[Lm,Ln]=(m−n)Lm+n+c12m(m2−1)δm+n,0[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}

여기서 cc는 중심 전하(central charge)라 불린다. 반정칙(anti-holomorphic) 부분에 대해서도 독립적인 비라소로 대수 {L~n,c~}\{\tilde{L}_n, \tilde{c}\}가 존재한다.

2. 1차 장과 연산자 곱 전개

정의2.2등각 차원과 1차 장

정칙 등각 변환 z→f(z)z \to f(z)에 대해 다음과 같이 변환하는 장 ϕ(z,zˉ)\phi(z, \bar{z})를

ϕ(z,zˉ)→(∂f∂z)h(∂fˉ∂zˉ)hˉϕ(f(z),fˉ(zˉ))\phi(z, \bar{z}) \to \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^h \left(\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}\right)^{\bar{h}} \phi(f(z), \bar{f}(\bar{z}))

(등각) 1차 장(primary field)이라 하며, (h,hˉ)(h, \bar{h})를 등각 가중치(conformal weights)라 한다. 등각 차원(conformal dimension)은 Δ=h+hˉ\Delta = h + \bar{h}, 스핀(spin)은 s=h−hˉs = h - \bar{h}이다.

등각장론의 동역학은 연산자 곱 전개(operator product expansion, OPE)에 의해 지배된다. 두 연산자가 가까이 접근할 때의 특이(singular) 행동을 체계적으로 기술하는 것이 OPE이다.

정의2.3연산자 곱 전개 (OPE)

두 국소 연산자 Oi(z)\mathcal{O}_i(z), Oj(w)\mathcal{O}_j(w)의 OPE는 다음과 같은 형태를 가진다.

Oi(z) Oj(w)=∑kCij  k(z−w)hk−hi−hj Ok(w)+⋯\mathcal{O}_i(z) \, \mathcal{O}_j(w) = \sum_k C_{ij}^{\ \ k}(z-w)^{h_k - h_i - h_j} \, \mathcal{O}_k(w) + \cdots

여기서 합은 이론의 모든 연산자에 대해 수행되며, Cij  kC_{ij}^{\ \ k}는 OPE 계수(OPE coefficients)이다.

3. 자유 보존장의 CFT

등각 게이지에서 폴야코프 작용을 유클리드화하면

S=14πα′∫d2z ∂Xμ∂ˉXμS = \frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2z \, \partial X^\mu \bar{\partial} X_\mu

이다. 이로부터 기본 OPE가 도출된다.

Xμ(z,zˉ) Xν(w,wˉ)∼−α′2ημνln⁡∣z−w∣2X^\mu(z, \bar{z}) \, X^\nu(w, \bar{w}) \sim -\frac{\alpha'}{2} \eta^{\mu\nu} \ln|z - w|^2

정칙 부분만 취하면

∂Xμ(z) ∂Xν(w)∼−α′2ημν(z−w)2\partial X^\mu(z) \, \partial X^\nu(w) \sim -\frac{\alpha'}{2} \frac{\eta^{\mu\nu}}{(z-w)^2}

이다. ∂Xμ(z)\partial X^\mu(z)는 등각 가중치 (h,hˉ)=(1,0)(h, \bar{h}) = (1, 0)을 가진 정칙 장이다.

4. 에너지-운동량 텐서와 중심 전하

유도에너지-운동량 텐서의 OPE

자유 보존장의 에너지-운동량 텐서는

T(z)=−1α′: ⁣∂Xμ∂Xμ ⁣:T(z) = -\frac{1}{\alpha'} :\!\partial X^\mu \partial X_\mu\!:

이며, 빅(Wick)의 정리를 사용하여 T(z)T(w)T(z)T(w)의 OPE를 계산하면

T(z) T(w)∼c/2(z−w)4+2T(w)(z−w)2+∂T(w)z−wT(z) \, T(w) \sim \frac{c/2}{(z-w)^4} + \frac{2T(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T(w)}{z-w}

을 얻는다. 여기서 c=Dc = D이다. 이 OPE는 비라소로 대수와 동치이다: T(z)T(z)를 로랑 전개하면

T(z)=∑n∈ZLnz−n−2T(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}

이고, OPE의 각 항은 비라소로 교환관계의 각 항에 대응한다.

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5. bcbc 고스트 시스템

미분동형 불변성의 게이지 고정으로부터 파데예프-포포프 고스트(Faddeev-Popov ghosts)가 도입된다.

정의2.4$bc$ 고스트 CFT

고스트 작용은

Sghost=12π∫d2z (b∂ˉc+b~∂c~)S_{\text{ghost}} = \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, (b \bar{\partial}c + \tilde{b}\partial\tilde{c})

이며, b(z)b(z)는 등각 가중치 h=2h = 2, c(z)c(z)는 h=−1h = -1인 반교환(anticommuting) 장이다. 기본 OPE는

b(z) c(w)∼1z−wb(z) \, c(w) \sim \frac{1}{z - w}

이다. 고스트 에너지-운동량 텐서는

Tghost(z)=−2b∂c−(∂b)cT^{\text{ghost}}(z) = -2b\partial c - (\partial b) c

이고, 이로부터 cghost=−26c_{\text{ghost}} = -26이 도출된다.

6. BRST 양자화

정의2.5BRST 전하

물리적 상태 공간은 BRST 코호몰로지(BRST cohomology)로 정의된다. BRST 전하는

QB=∮dz2πi(c Tmatter+12: ⁣c Tghost ⁣:+32∂2c)Q_B = \oint \frac{dz}{2\pi i} \left( c \, T^{\text{matter}} + \frac{1}{2} :\!c \, T^{\text{ghost}}\!: + \frac{3}{2}\partial^2 c \right)

이며, 다음 성질을 가진다.

QB2=0⟺ctotal=cmatter+cghost=0Q_B^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad c_{\text{total}} = c_{\text{matter}} + c_{\text{ghost}} = 0

따라서 BRST 대칭의 무모순성이 임계 차원 D=26D = 26을 요구한다.

물리적 상태는 BRST 닫힌(BRST-closed) 상태, 즉 QB∣phys⟩=0Q_B|\text{phys}\rangle = 0을 만족하는 상태이다. BRST 정확(BRST-exact) 상태 ∣ψ⟩=QB∣χ⟩|\psi\rangle = Q_B|\chi\rangle는 영(null) 상태이므로, 물리적 힐베르트 공간은 코호몰로지

Hphys=ker⁡QBim QB\mathcal{H}_{\text{phys}} = \frac{\ker Q_B}{\text{im} \, Q_B}

로 주어진다.

참고노커닝 정리와 등각장론의 분류

2차원 등각장론의 완전한 데이터는 (i) 중심 전하 cc, (ii) 1차 장의 스펙트럼, (iii) OPE 계수 Cij  kC_{ij}^{\ \ k}로 결정된다. 이 데이터가 교차 대칭(crossing symmetry)과 모듈러 불변성(modular invariance)을 만족하면, 상관함수가 모두 결정된다. 끈 이론에서 세계면 CFT의 이러한 구조적 풍부함은 시공간 물리의 다양한 성질 — 입자 스펙트럼, 상호작용, 대칭 — 을 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다.

예제$T(z) \partial X^\mu(w)$ OPE 계산

T(z)=−1α′:∂Xν∂Xν:T(z) = -\frac{1}{\alpha'}:\partial X^\nu \partial X_\nu: 와 ∂Xμ(w)\partial X^\mu(w)의 OPE를 계산하자.

T(z) ∂Xμ(w)∼−1α′⋅2⋅(−α′2)∂Xμ(w)(z−w)2+⋯=∂Xμ(w)(z−w)2+∂2Xμ(w)z−wT(z)\,\partial X^\mu(w) \sim -\frac{1}{\alpha'} \cdot 2 \cdot \left(-\frac{\alpha'}{2}\right) \frac{\partial X^\mu(w)}{(z-w)^2} + \cdots = \frac{\partial X^\mu(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial^2 X^\mu(w)}{z-w}

이는 ∂Xμ\partial X^\mu가 등각 가중치 h=1h=1인 1차 장임을 확인해 준다.