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물리학 강의 노트

개념완성

꼭짓점 연산자 (Vertex Operators)

1. 상태-연산자 대응

2차원 등각장론의 핵심적 성질은 상태-연산자 대응(state-operator correspondence)이다. 이는 힐베르트 공간의 모든 상태 ∣ψ⟩|\psi\rangle와 국소 연산자 Vψ(z,zˉ)\mathcal{V}_\psi(z, \bar{z}) 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것이다.

정의2.6상태-연산자 대응

방사형 양자화(radial quantization)에서, 원점에 삽입된 국소 연산자 V(0)\mathcal{V}(0)가 진공에 작용하여 만드는 상태와 해당 연산자는 일대일로 대응한다.

∣ψ⟩=lim⁡z,zˉ→0Vψ(z,zˉ)∣0⟩|\psi\rangle = \lim_{z,\bar{z} \to 0} \mathcal{V}_\psi(z, \bar{z}) |0\rangle

역으로, 모든 상태에 대해 대응하는 국소 연산자가 존재한다.

끈 이론에서 이 대응은 심오한 물리적 의미를 갖는다: 끈의 각 진동 상태(즉, 입자)는 세계면 위의 꼭짓점 연산자(vertex operator)에 대응하며, 끈의 산란 진폭(scattering amplitude)은 이 꼭짓점 연산자들의 상관함수로 계산된다.

2. 타키온 꼭짓점 연산자

가장 간단한 꼭짓점 연산자는 타키온에 대응하는 것이다.

정의2.7타키온 꼭짓점 연산자

닫힌 끈 타키온:

VT(z,zˉ)=gc : ⁣eik⋅X(z,zˉ) ⁣:\mathcal{V}_T(z, \bar{z}) = g_c \, :\!e^{ik \cdot X(z, \bar{z})}\!:

이 연산자의 등각 가중치는 (h,hˉ)=(α′k2/4, α′k2/4)(h, \bar{h}) = (\alpha' k^2 / 4, \, \alpha' k^2 / 4)이다. 물리적 상태 조건 h=hˉ=1h = \bar{h} = 1로부터 질량-껍질 조건

α′k2=4  ⟹  M2=−k2=−4α′\alpha' k^2 = 4 \implies M^2 = -k^2 = -\frac{4}{\alpha'}

이 재현된다.

열린 끈 타키온:

VTopen(y)=go : ⁣eik⋅X(y) ⁣:\mathcal{V}_T^{\text{open}}(y) = g_o \, :\!e^{ik \cdot X(y)}\!:

여기서 yy는 세계면 경계(실수 축) 위의 좌표이다. 물리적 조건 h=1h = 1로부터 α′k2=1\alpha' k^2 = 1, 즉 M2=−1/α′M^2 = -1/\alpha'이다.

참고정규 순서와 등각 가중치

복합 연산자 :eik⋅X::e^{ik \cdot X}:의 등각 가중치를 T(z):eik⋅X(w,wˉ):T(z) :e^{ik \cdot X(w, \bar{w})}:의 OPE로 확인할 수 있다.

T(z) : ⁣eik⋅X(w,wˉ) ⁣:∼α′k2/4(z−w)2: ⁣eik⋅X ⁣:+1z−w∂w: ⁣eik⋅X ⁣:T(z) \, :\!e^{ik \cdot X(w,\bar{w})}\!: \sim \frac{\alpha' k^2/4}{(z-w)^2} :\!e^{ik \cdot X}\!: + \frac{1}{z-w}\partial_w :\!e^{ik \cdot X}\!:

따라서 h=α′k2/4h = \alpha'k^2/4이며, 이는 운동량 kk를 가진 끈 상태의 에너지에 관한 정보를 담고 있다.

3. 비질량 꼭짓점 연산자

정의2.8비질량 닫힌 끈 꼭짓점 연산자

닫힌 끈의 비질량 상태 — 중력자, 칼브-라몬드장, 딜라톤 — 에 대응하는 꼭짓점 연산자는

V(z,zˉ)=gc ζμν : ⁣∂Xμ(z)∂ˉXν(zˉ)eik⋅X(z,zˉ) ⁣:\mathcal{V}(z, \bar{z}) = g_c \, \zeta_{\mu\nu} \, :\!\partial X^\mu(z) \bar{\partial} X^\nu(\bar{z}) e^{ik \cdot X(z,\bar{z})}\!:

이다. 물리적 상태 조건 (h,hˉ)=(1,1)(h, \bar{h}) = (1, 1)로부터 k2=0k^2 = 0 (비질량 조건)이 도출되며, BRST 조건은 kμζμν=kνζμν=0k^\mu \zeta_{\mu\nu} = k^\nu \zeta_{\mu\nu} = 0 (횡파 조건)을 준다.

편극 텐서 ζμν\zeta_{\mu\nu}의 분해:

  • 중력자: ζ(μν)−1D−2ημνζλ λ\zeta_{(\mu\nu)} - \frac{1}{D-2}\eta_{\mu\nu}\zeta_\lambda^{\ \lambda} (대칭 무흔적)
  • 칼브-라몬드장: ζ[μν]\zeta_{[\mu\nu]} (반대칭)
  • 딜라톤: ζλ λ\zeta_\lambda^{\ \lambda} (흔적)
정의2.9비질량 열린 끈 꼭짓점 연산자

비질량 벡터 보존(게이지 보존)에 대응하는 열린 끈 꼭짓점 연산자는

VA(y)=go ζμ : ⁣∂yXμ(y)eik⋅X(y) ⁣:\mathcal{V}_A(y) = g_o \, \zeta_\mu \, :\!\partial_y X^\mu(y) e^{ik \cdot X(y)}\!:

이며, k2=0k^2 = 0, ζ⋅k=0\zeta \cdot k = 0이다. ζμ→ζμ+λkμ\zeta_\mu \to \zeta_\mu + \lambda k_\mu에 대한 불변성은 게이지 대칭에 대응한다.

4. 산란 진폭

끈의 산란 진폭은 세계면 위에 삽입된 꼭짓점 연산자들의 상관함수로 주어진다.

유도나무 수준 닫힌 끈 진폭

nn개의 닫힌 끈이 참여하는 나무 수준(tree-level) 산란 진폭은 구(sphere) S2S^2 위의 상관함수이다.

An=gcn−2∫∏i=1nd2zi ⟨∏i=1nVi(zi,zˉi)⟩S2\mathcal{A}_n = g_c^{n-2} \int \prod_{i=1}^n d^2z_i \, \left\langle \prod_{i=1}^n \mathcal{V}_i(z_i, \bar{z}_i) \right\rangle_{S^2}

SL(2,C)\text{SL}(2, \mathbb{C}) 등각 킬링 벡터(conformal Killing vector)에 의한 잔여 대칭 때문에, 세 점의 위치 (z1,z2,z3)(z_1, z_2, z_3)는 고정되어야 한다. 이를 고정하면

An=gcn−2∣c123∣2∫∏i=4nd2zi ⟨∏i=1nVi(zi,zˉi)⟩S2\mathcal{A}_n = g_c^{n-2} |c_{123}|^2 \int \prod_{i=4}^n d^2z_i \, \left\langle \prod_{i=1}^n \mathcal{V}_i(z_i, \bar{z}_i) \right\rangle_{S^2}

여기서 c123=c(z1)c(z2)c(z3)c_{123} = c(z_1)c(z_2)c(z_3)은 고스트 삽입이다.

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5. 베네치아노 진폭

예제4-타키온 산란: 베네치아노 진폭

4개의 열린 끈 타키온의 나무 수준 산란 진폭을 계산하자. 만델스탐 변수 s=−(k1+k2)2s = -(k_1+k_2)^2, t=−(k2+k3)2t = -(k_2+k_3)^2를 사용하면

A4open=go2∫01dx x−α′s−2(1−x)−α′t−2\mathcal{A}_4^{\text{open}} = g_o^2 \int_0^1 dx \, x^{-\alpha's - 2}(1-x)^{-\alpha't - 2}

이 적분은 오일러 베타 함수(Euler beta function)로 표현된다.

A4open=go2 B(−α′s−1,−α′t−1)=go2Γ(−α′s−1)Γ(−α′t−1)Γ(−α′s−α′t−2)\mathcal{A}_4^{\text{open}} = g_o^2 \, B(-\alpha's - 1, -\alpha't - 1) = g_o^2 \frac{\Gamma(-\alpha's - 1)\Gamma(-\alpha't - 1)}{\Gamma(-\alpha's - \alpha't - 2)}

이것이 1968년 베네치아노(Veneziano)가 발견한 진폭으로, 끈 이론의 역사적 출발점이다. 이 진폭은 ss-채널과 tt-채널 극(pole)을 동시에 가지는 이중성(duality)을 만족한다.

6. 루프 진폭과 모듈러 불변성

1-루프(one-loop) 진폭은 토러스(torus) 위의 상관함수로 계산된다. 토러스의 모듈러 매개변수(modular parameter) τ\tau는 상반면(upper half-plane) Im(τ)>0\text{Im}(\tau) > 0의 점이며, 모듈러 군(modular group) SL(2,Z)\text{SL}(2,\mathbb{Z})의 변환

τ→aτ+bcτ+d,ad−bc=1\tau \to \frac{a\tau + b}{c\tau + d}, \quad ad - bc = 1

에 의해 동치인 토러스를 기술한다. 닫힌 끈의 1-루프 진공 진폭(vacuum amplitude)은

Z(τ)=∫Fd2τ(Im τ)2 (Im τ)−D/2+1∣η(τ)∣−2(D−2)Z(\tau) = \int_{\mathcal{F}} \frac{d^2\tau}{(\text{Im}\,\tau)^2} \, (\text{Im}\,\tau)^{-D/2+1} |\eta(\tau)|^{-2(D-2)}

이며, 적분은 기본 영역(fundamental domain) F\mathcal{F}에 대해 수행된다. 여기서 η(τ)\eta(\tau)는 데데킨트 에타 함수(Dedekind eta function)이다. 피적분 함수의 모듈러 불변성은 일관된 끈 이론의 필수 조건이다.

참고자외선 유한성

끈 이론 진폭의 모듈러 불변성은 자외선(UV) 유한성과 밀접하게 연관된다. 점입자 장론에서 루프 적분의 자외선 발산은 Im(τ)→0\text{Im}(\tau) \to 0 영역에 대응하는데, 모듈러 변환 τ→−1/τ\tau \to -1/\tau는 이 영역을 Im(τ)→∞\text{Im}(\tau) \to \infty (적외선 영역)로 매핑한다. 기본 영역 F\mathcal{F}에서의 적분은 이 두 영역의 이중 계수를 자동적으로 배제하므로, 끈 이론은 본질적으로 자외선 유한하다.