Type IIA/IIB 초끈 (Type IIA/IIB Superstrings)
1. 초끈으로의 동기
보존 끈 이론은 두 가지 근본적 문제를 안고 있다: (i) 스펙트럼에 타키온 (tachyon)이 존재하여 진공이 불안정하고, (ii) 페르미온 (fermion)이 없어 현실적인 물질을 기술할 수 없다. 이 두 문제를 동시에 해결하는 것이 초끈 이론 (superstring theory)이다.
세계면에 초대칭(supersymmetry)을 도입하면, 보존장 X μ ( τ , σ ) X^\mu(\tau,\sigma) X μ ( τ , σ ) ψ μ ( τ , σ ) \psi^\mu(\tau,\sigma) ψ μ ( τ , σ ) D = 10 D = 10 D = 10
2. 세계면 초대칭 작용
정의 3.1 RNS 작용
라몽-느뵈-슈바르츠 (Ramond-Neveu-Schwarz, RNS) 형식론에서 초끈의 세계면 작용은 등각 게이지에서
S = − 1 4 π α ′ ∫ d 2 σ ( ∂ a X μ ∂ a X μ + ψ ˉ μ ρ a ∂ a ψ μ ) S = -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2\sigma \left( \partial_a X^\mu \partial^a X_\mu + \bar{\psi}^\mu \rho^a \partial_a \psi_\mu \right) S = − 4 π α ′ 1 ∫ d 2 σ ( ∂ a X μ ∂ a X μ + ψ ˉ μ ρ a ∂ a ψ μ ) 이다. 여기서 ψ μ \psi^\mu ψ μ ρ a \rho^a ρ a
2성분 스피너를 ψ μ = ( ψ − μ ψ + μ ) \psi^\mu = \begin{pmatrix} \psi_-^\mu \\ \psi_+^\mu \end{pmatrix} ψ μ = ( ψ − μ ψ + μ ) ψ − μ ( z ) \psi_-^\mu(z) ψ − μ ( z ) ψ + μ ( z ˉ ) \psi_+^\mu(\bar{z}) ψ + μ ( z ˉ )
ψ μ ( z ) ψ ν ( w ) ∼ η μ ν z − w \psi^\mu(z) \psi^\nu(w) \sim \frac{\eta^{\mu\nu}}{z - w} ψ μ ( z ) ψ ν ( w ) ∼ z − w η μν 이며, ψ μ \psi^\mu ψ μ h = 1 / 2 h = 1/2 h = 1/2
c = D ⋅ 1 + D ⋅ 1 2 = 3 D 2 c = D \cdot 1 + D \cdot \frac{1}{2} = \frac{3D}{2} c = D ⋅ 1 + D ⋅ 2 1 = 2 3 D 이고, 초고스트(superghosts)의 기여 c ghost = − 15 c_{\text{ghost}} = -15 c ghost = − 15 c total = 3 D 2 − 15 = 0 c_{\text{total}} = \frac{3D}{2} - 15 = 0 c total = 2 3 D − 15 = 0 D = 10 D = 10 D = 10
3. 경계조건과 섹터
닫힌 끈의 페르미온에 대해 두 가지 경계조건이 가능하다.
정의 3.2 라몽 (R) 및 느뵈-슈바르츠 (NS) 섹터
느뵈-슈바르츠 (NS) 경계조건 — 반주기적:
ψ μ ( σ + 2 π ) = − ψ μ ( σ ) \psi^\mu(\sigma + 2\pi) = -\psi^\mu(\sigma) ψ μ ( σ + 2 π ) = − ψ μ ( σ ) 모드 전개: ψ μ ( z ) = ∑ r ∈ Z + 1 / 2 ψ r μ z − r − 1 / 2 \psi^\mu(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}+1/2} \psi_r^\mu z^{-r-1/2} ψ μ ( z ) = ∑ r ∈ Z + 1/2 ψ r μ z − r − 1/2
라몽 (R) 경계조건 — 주기적:
ψ μ ( σ + 2 π ) = + ψ μ ( σ ) \psi^\mu(\sigma + 2\pi) = +\psi^\mu(\sigma) ψ μ ( σ + 2 π ) = + ψ μ ( σ ) 모드 전개: ψ μ ( z ) = ∑ n ∈ Z ψ n μ z − n − 1 / 2 \psi^\mu(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \psi_n^\mu z^{-n-1/2} ψ μ ( z ) = ∑ n ∈ Z ψ n μ z − n − 1/2
닫힌 끈에서 좌진행과 우진행에 독립적으로 경계조건을 선택할 수 있으므로, 네 개의 섹터가 존재한다: NS-NS , NS-R , R-NS , R-R .
4. GSO 사영과 Type II 이론
정의 3.3 GSO 사영
글리오치-슈어크-올리브 (Gliozzi-Scherk-Olive, GSO) 사영은 세계면 페르미온 수 연산자 ( − 1 ) F (-1)^F ( − 1 ) F
NS 섹터에서 ( − 1 ) F = − 1 (-1)^F = -1 ( − 1 ) F = − 1
타키온이 제거된다
모듈러 불변성이 성립한다
시공간 초대칭이 출현한다
R 섹터에서 좌진행 카이랄리티와 우진행 카이랄리티의 선택에 따라 두 가지 이론이 구별된다.
법칙 3.1 Type IIA와 Type IIB의 구별
Type IIA : 좌진행과 우진행 R 섹터에 반대 카이랄리티의 GSO 사영을 적용한다.
IIA : ( N S + , R + ) ⊗ ( N S + , R − ) \text{IIA}: \quad (NS+, R+) \otimes (NS+, R-) IIA : ( NS + , R + ) ⊗ ( NS + , R − ) 시공간에서 N = ( 1 , 1 ) \mathcal{N} = (1,1) N = ( 1 , 1 )
Type IIB : 좌진행과 우진행 R 섹터에 같은 카이랄리티의 GSO 사영을 적용한다.
IIB : ( N S + , R + ) ⊗ ( N S + , R + ) \text{IIB}: \quad (NS+, R+) \otimes (NS+, R+) IIB : ( NS + , R + ) ⊗ ( NS + , R + ) 시공간에서 N = ( 2 , 0 ) \mathcal{N} = (2,0) N = ( 2 , 0 )
5. 비질량 스펙트럼
정의 3.4 Type IIA 비질량 스펙트럼
| 섹터 | 시공간 장 | 설명 |
|------|----------|------|
| NS-NS | G μ ν G_{\mu\nu} G μν B μ ν B_{\mu\nu} B μν Φ \Phi Φ C 1 C_1 C 1 C 3 C_3 C 3 ψ μ ( 1 ) \psi_\mu^{(1)} ψ μ ( 1 ) ψ μ ( 2 ) \psi_\mu^{(2)} ψ μ ( 2 ) λ ( 1 ) \lambda^{(1)} λ ( 1 ) λ ( 2 ) \lambda^{(2)} λ ( 2 )
Type IIA의 낮은 에너지 유효 이론은 D = 10 D = 10 D = 10 N = 2 A \mathcal{N} = 2A N = 2 A 초중력 (supergravity)이다.
정의 3.5 Type IIB 비질량 스펙트럼
| 섹터 | 시공간 장 | 설명 |
|------|----------|------|
| NS-NS | G μ ν G_{\mu\nu} G μν B μ ν B_{\mu\nu} B μν Φ \Phi Φ C 0 C_0 C 0 C 2 C_2 C 2 C 4 + C_4^+ C 4 + ψ μ ( 1 ) \psi_\mu^{(1)} ψ μ ( 1 ) ψ μ ( 2 ) \psi_\mu^{(2)} ψ μ ( 2 ) λ ( 1 ) \lambda^{(1)} λ ( 1 ) λ ( 2 ) \lambda^{(2)} λ ( 2 )
C 4 + C_4^+ C 4 + F 5 = d C 4 F_5 = dC_4 F 5 = d C 4 자기이중 조건 (self-duality) F 5 = ∗ F 5 F_5 = *F_5 F 5 = ∗ F 5 D = 10 D = 10 D = 10 N = 2 B \mathcal{N} = 2B N = 2 B
6. 시공간 초대칭의 출현
유도 GSO 사영으로부터의 초대칭
R 섹터의 영모드(zero mode) ψ 0 μ \psi_0^\mu ψ 0 μ
{ ψ 0 μ , ψ 0 ν } = η μ ν \{\psi_0^\mu, \psi_0^\nu\} = \eta^{\mu\nu} { ψ 0 μ , ψ 0 ν } = η μν 를 만족한다. 이들은 Γ μ = 2 ψ 0 μ \Gamma^\mu = \sqrt{2}\psi_0^\mu Γ μ = 2 ψ 0 μ ∣ a ⟩ |a\rangle ∣ a ⟩ 스피너 (spinor)를 이룬다.
10차원에서 디랙 스피너는 2 10 / 2 = 32 2^{10/2} = 32 2 10/2 = 32 16 16 16 16 \mathbf{16} 16 16 ‾ \overline{\mathbf{16}} 16 Q α Q_\alpha Q α
Type IIA에서는 반대 카이랄리티의 두 스피너 Q α ( 1 ) ∈ 16 Q_\alpha^{(1)} \in \mathbf{16} Q α ( 1 ) ∈ 16 Q α ( 2 ) ∈ 16 ‾ Q_\alpha^{(2)} \in \overline{\mathbf{16}} Q α ( 2 ) ∈ 16 Q α ( 1 ) , Q α ( 2 ) ∈ 16 Q_\alpha^{(1)}, Q_\alpha^{(2)} \in \mathbf{16} Q α ( 1 ) , Q α ( 2 ) ∈ 16
■