이종 끈 (Heterotic Strings)

1. 이종 구성의 아이디어

이종 끈(heterotic string)은 1985년 그로스(Gross), 하비(Harvey), 마르티네츠(Martinec), 롬(Rohm)에 의해 제안된 독창적 구성이다. 핵심 아이디어는 닫힌 끈의 좌진행과 우진행 모드를 서로 다른 이론에서 가져오는 것이다.

정의3.6이종 끈의 구성

이종 끈에서 좌진행과 우진행 부분은 다음과 같이 비대칭적으로 구성된다.

우진행 (right-moving): 10차원 초끈의 구조 ( $X^\mu_R, \psi^\mu_R$ , $\mu = 0, \ldots, 9$ )
- 중심 전하: $c_R = 10 \cdot 1 + 10 \cdot \frac{1}{2} = 15$
- 초고스트 포함 시: $c_R^{\text{total}} = 15 - 15 = 0$
좌진행 (left-moving): 26차원 보존 끈의 구조 ( $X^\mu_L$ , $\mu = 0, \ldots, 9$ 및 $X^I_L$ , $I = 1, \ldots, 16$ )
- 중심 전하: $c_L = 26$
- 고스트 포함 시: $c_L^{\text{total}} = 26 - 26 = 0$

여기서 추가적인 16개의 좌진행 좌표 $X^I_L$ 은 16차원 내부 공간에 대응한다.

이 구성이 무모순하려면 16개의 추가 좌표가 격자(lattice) 위에 컴팩트화되어야 하며, 모듈러 불변성이 격자의 성질을 엄격하게 제한한다.

2. 격자 컴팩트화와 게이지 대칭

법칙3.2이종 끈의 모듈러 불변성 조건

16차원 내부 좌표의 운동량 $p^I_L$ 이 사는 격자 $\Gamma^{16}$ 은 다음 조건을 만족해야 한다:

(i) $\Gamma^{16}$ 은 짝수 자기이중 격자(even self-dual lattice)이다.

\Gamma^{16} = (\Gamma^{16})^* \quad \text{(자기이중)}, \quad p^2 \in 2\mathbb{Z} \quad \forall \, p \in \Gamma^{16} \quad \text{(짝수)}

(ii) 16차원에서 짝수 자기이중 격자는 정확히 두 개만 존재한다:

\Gamma^{16} = \Gamma_8 \oplus \Gamma_8 \quad \text{또는} \quad \Gamma^{16} = \Gamma_{16}

여기서 $\Gamma_8$ 은 $E_8$ 근격자(root lattice), $\Gamma_{16}$ 은 $\text{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ 격자이다.

이 두 격자는 각각 $E_8 \times E_8$ 와 $\text{SO}(32)$ 게이지 대칭을 생성한다.

3. 비질량 스펙트럼

정의3.7이종 끈의 비질량 스펙트럼

NS 섹터 (우진행 NS, 좌진행 보존):

준위 맞춤 조건은 $\frac{\alpha'}{4}p_L^2 + N_L - 1 = N_R - \frac{1}{2}$ 이다.

비질량 상태 ( $N_R = 1/2$ ):

| 좌진행 상태 | $N_L$ | $p_L^2$ | 시공간 장 | 수 | |------------|-------|---------|----------|---| | $\alpha_{-1}^\mu \tilde{\psi}_{-1/2}^\nu$ | 1 | 0 | $G_{\mu\nu}$ , $B_{\mu\nu}$ , $\Phi$ | 중력 다중항 | | $\alpha_{-1}^I \tilde{\psi}_{-1/2}^\mu$ | 0 | 2 | $A_\mu^a$ | 게이지 보존 |

게이지 보존의 경우 $N_L = 0$ 이지만 $p_L^2 = 2$ 이므로 비질량이다. $p_L^2 = 2$ 를 만족하는 격자점은 해당 리 대수의 근(root)에 대응하며, $\alpha_{-1}^I$ 로부터의 기여와 합산하면 전체 게이지군의 딸림(adjoint) 표현이 완성된다.

$E_8 \times E_8$ 이종 끈: 게이지군 $E_8 \times E_8$ , 게이지 보존의 수 = $248 + 248 = 496$

$\text{SO}(32)$ 이종 끈: 게이지군 $\text{SO}(32)$ , 게이지 보존의 수 = $496$

4. 유효 작용

유도이종 끈의 낮은 에너지 유효 작용

이종 끈의 비질량 섹터는 $D = 10$ , $\mathcal{N} = 1$ 초중력에 게이지 다중항이 결합한 이론으로 기술된다. 보존 부분의 유효 작용은

S = \frac{1}{2\kappa_{10}^2} \int d^{10}x \, \sqrt{-G} \, e^{-2\Phi} \left( R + 4(\partial\Phi)^2 - \frac{1}{2}|H_3|^2 - \frac{\alpha'}{4}\text{tr}|F_2|^2 \right)

이다. 여기서 $H_3 = dB_2 - \frac{\alpha'}{4}(\omega_{\text{YM}} - \omega_{\text{L}})$ 는 수정된 3-형식 장 세기이고, $\omega_{\text{YM}}$ 은 양-밀즈 체른-사이먼즈 3-형식, $\omega_{\text{L}}$ 은 로렌츠 체른-사이먼즈 3-형식이다.

$H_3$ 의 정의에 나타나는 체른-사이먼즈 항의 수정은 그린-슈바르츠 메커니즘(Green-Schwarz mechanism)의 결과로, 이상(anomaly) 소거에 필수적이다.

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5. 이상 소거

법칙3.3그린-슈바르츠 이상 소거

10차원 카이랄 이론에서 중력 이상(gravitational anomaly)과 게이지 이상(gauge anomaly)이 동시에 소거되려면 게이지군이 다음 중 하나여야 한다:

\text{SO}(32), \quad E_8 \times E_8

이상 다항식(anomaly polynomial)은 인수분해 형태

I_{12} = \frac{1}{2} X_4 \wedge X_8

를 취해야 하며, $B_2$ 필드의 비표준 게이지 변환 $\delta B_2 \propto \text{tr}(\Lambda dA) - \text{tr}(\theta d\omega)$ 에 의해 상쇄된다.

이것은 끈 이론이 비자명하게(nontrivially) 일관된 양자 이론임을 보여주는 결정적 증거로, 1984년 제1차 끈 혁명(first superstring revolution)의 기폭제가 되었다.

6. 페르미온 구성

참고보존화(bosonization)

16개의 좌진행 내부 좌표 $X^I_L$ 대신, 32개의 좌진행 마요라나 페르미온 $\lambda^A$ ( $A = 1, \ldots, 32$ )을 사용할 수도 있다. 이는 2차원에서의 보존화(bosonization) 동치에 의한 것이다:

c_L^{\text{internal}} = 16 \cdot 1 = 16 = 32 \cdot \frac{1}{2}

페르미온 구성에서 게이지 대칭은 $\lambda^A$ 의 경계조건 선택으로부터 자연스럽게 출현한다. $32$ 개 페르미온 모두에 같은 경계조건을 적용하면 $\text{SO}(32)$ 가, $16+16$ 으로 나누어 적용하면 $E_8 \times E_8$ 가 나타난다.

예제$E_8$ 근격자의 구조

$E_8$ 근격자 $\Gamma_8$ 은 8차원 유클리드 공간의 격자로, 다음 두 부분의 합집합이다:

\Gamma_8 = D_8 \cup (D_8 + s)

여기서 $D_8$ 은 정수 좌표의 짝수 합을 가진 점들 $\{(n_1, \ldots, n_8) \in \mathbb{Z}^8 : \sum n_i \in 2\mathbb{Z}\}$ 이고, $s = (\frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{2})$ 는 스피너 가중치이다.

$\Gamma_8$ 의 근(최소 벡터)의 수는 $240$ 이며, 카르탄 부분 대수의 차원 $8$ 을 더하면 $E_8$ 의 차원 $\dim(E_8) = 248$ 을 얻는다.