D-브레인 (D-Branes)

1. 디리클레 경계조건과 D-브레인

열린 끈의 끝점에는 두 종류의 경계조건이 가능하다.

정의4.1D$p$-브레인

열린 끈의 끝점이 노이만 경계조건 $\partial_\sigma X^\mu|_{\text{boundary}} = 0$ 을 $(p+1)$ 개 방향에서 만족하고, 디리클레 경계조건 $\delta X^i|_{\text{boundary}} = 0$ 을 나머지 $(D-p-1)$ 개 방향에서 만족하면, 끈의 끝점은 $(p+1)$ 차원 초곡면에 구속된다.

이 초곡면을 D $p$ -브레인(D $p$ -brane)이라 한다. $p$ 는 브레인의 공간적 차원이며, 세계 부피(worldvolume)는 $(p+1)$ 차원이다.

\begin{cases} \partial_\sigma X^\mu = 0, & \mu = 0, 1, \ldots, p \quad \text{(노이만: 브레인 방향)} \\ X^i = x_0^i, & i = p+1, \ldots, D-1 \quad \text{(디리클레: 수직 방향)} \end{cases}

D-브레인은 단순한 경계조건이 아니라 동역학적 객체(dynamical object)이다. 폴친스키(Polchinski)의 핵심적 통찰(1995)은 D-브레인이 R-R 장에 대한 전하(charge)를 가진 확장된 객체라는 것이었다.

2. D-브레인의 장력과 전하

정의4.2D-브레인의 장력과 R-R 전하

D $p$ -브레인의 장력(단위 부피당 에너지)은 다음과 같다.

T_p = \frac{1}{(2\pi)^p (\alpha')^{(p+1)/2} g_s}

D $p$ -브레인은 R-R $(p+1)$ -형식 전위(potential) $C_{p+1}$ 에 대한 전하 $\mu_p$ 를 가지며,

\mu_p = T_p

이 관계는 D-브레인이 BPS 상태(BPS state)임을 반영한다. BPS 조건 $\mu_p = T_p$ 는 질량(장력)이 전하에 의해 하한이 주어지는 보고몰니 한계(Bogomol'nyi bound)의 포화를 의미한다.

참고$g_s$ 의존성과 비섭동론적 성격

D-브레인 장력이 $T_p \propto 1/g_s$ 로 결합 상수의 역수에 비례하는 것은 D-브레인이 비섭동론적(non-perturbative) 객체임을 보여준다. 이것은 양-밀즈 이론의 모노폴(monopole)이나 인스탄톤(instanton)처럼, 끈의 섭동 전개 $\sum_n g_s^n$ 에서는 보이지 않는 객체이다.

3. D-브레인 유효 작용: DBI 작용

정의4.3디락-본-인펠트 (DBI) 작용

D $p$ -브레인의 세계 부피 작용의 보존 부분은 디락-본-인펠트(Dirac-Born-Infeld, DBI) 작용으로 주어진다.

S_{\text{DBI}} = -T_p \int d^{p+1}\xi \, e^{-\Phi} \sqrt{-\det\left( g_{ab} + B_{ab} + 2\pi\alpha' F_{ab} \right)}

여기서:

$\xi^a$ ( $a = 0, \ldots, p$ )는 세계 부피 좌표
$g_{ab} = G_{\mu\nu} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$ 는 유도 계량
$B_{ab}$ 는 유도된 칼브-라몬드장
$F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a$ 는 세계 부피 $\text{U}(1)$ 게이지장의 장 세기

장이 약할 때( $F_{ab} \ll 1/\alpha'$ ), DBI 작용을 전개하면

S_{\text{DBI}} \approx -T_p \int d^{p+1}\xi \, \sqrt{-g} \left( 1 + \frac{(2\pi\alpha')^2}{4} F_{ab}F^{ab} + \cdots \right)

으로 맥스웰 이론(Maxwell theory)이 재현된다.

4. 체른-사이먼즈 결합

정의4.4체른-사이먼즈 작용

D-브레인의 R-R 장과의 결합은 체른-사이먼즈(Chern-Simons) 작용으로 기술된다.

S_{\text{CS}} = \mu_p \int_{\text{D}p} \sum_q C_q \wedge e^{B_2 + 2\pi\alpha' F_2}

여기서 합은 모든 R-R 형식 전위 $C_q$ 에 대해 수행되며, $(p+1)$ -형식 부분만 적분에 기여한다.

전개하면

S_{\text{CS}} = \mu_p \int \left( C_{p+1} + C_{p-1} \wedge (B_2 + 2\pi\alpha' F_2) + \cdots \right)

이다. 첫째 항은 D $p$ -브레인의 R-R $C_{p+1}$ 에 대한 최소 결합이고, 둘째 항은 D $p$ -브레인 위의 자기 플럭스가 D $(p-2)$ -브레인 전하를 유도함을 보여준다.

5. 겹쳐진 D-브레인과 비가환 게이지 이론

유도$N$개 D-브레인의 게이지 대칭 강화

$N$ 개의 D $p$ -브레인이 같은 위치에 겹쳐 있는(coincident) 경우를 고려하자. 열린 끈의 양 끝점은 각각 $N$ 개 브레인 중 하나에 끝날 수 있으므로, 끈 상태는 $N \times N$ 행렬 구조를 갖는다.

비질량 벡터 보존의 경우:

A_\mu^{ij}, \quad i, j = 1, \ldots, N

이것은 $\text{U}(N)$ 게이지군의 딸림 표현에 해당한다. 따라서 $N$ 개의 겹쳐진 D $p$ -브레인은 $(p+1)$ 차원 $\text{U}(N)$ 양-밀즈 이론을 지탱(support)한다.

브레인을 분리하면 $\text{U}(N) \to \text{U}(1)^N$ 으로 게이지 대칭이 자발적으로 깨지며, 두 브레인을 연결하는 끈의 최소 길이 — 브레인 간 거리 — 가 W-보존의 질량을 결정한다:

M_W = \frac{|\Delta x|}{2\pi\alpha'}

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6. D-브레인과 초대칭

법칙4.1D-브레인의 BPS 조건

D $p$ -브레인은 시공간 초대칭의 절반을 보존하는 1/2-BPS 상태이다. 구체적으로, D $p$ -브레인은 다음 조건을 만족하는 초대칭 매개변수 $\epsilon$ 에 대응하는 초대칭만 보존한다.

\epsilon = \Gamma^{0 1 \cdots p} \epsilon'

여기서 $\Gamma^{0 1 \cdots p}$ 는 브레인 세계 부피 방향의 감마 행렬의 곱이다. 이 사영 조건은 32개의 초전하 중 16개만 보존됨을 의미한다.

두 D-브레인이 이루는 각도에 따라 보존되는 초대칭의 양이 변한다. 두 D-브레인이 서로 수직이면(직교하면) 1/4-BPS ( $8$ 개 초전하)가 보존되며, 일반 각도에서는 초대칭이 완전히 깨질 수 있다.

예제Type IIA와 Type IIB의 안정한 D-브레인

Type IIA에서 R-R 장은 $C_1$ , $C_3$ (및 이들의 자기적 쌍대 $C_5$ , $C_7$ )이므로, 안정한(BPS) D-브레인은 짝수 차원이다:

\text{Type IIA}: \quad \text{D}0, \text{D}2, \text{D}4, \text{D}6, \text{D}8

Type IIB에서 R-R 장은 $C_0$ , $C_2$ , $C_4$ (및 $C_6$ , $C_8$ )이므로, 안정한 D-브레인은 홀수 차원이다:

\text{Type IIB}: \quad \text{D}(-1), \text{D}1, \text{D}3, \text{D}5, \text{D}7, \text{D}9

여기서 D $(-1)$ -브레인은 인스탄톤에 대응하는 시공간적으로 국소화된 객체이다.