게이지 군 $G$에 대한 $\mathcal{N}=1$ SUSY 게이지 이론의 라그랑지안:

$\mathcal{L} = \frac{1}{4g^2}\int d^2\theta\, \text{tr}(W^\alpha W_\alpha) + \text{h.c.} + \int d^4\theta\, \bar{\Phi}_i e^{2gV} \Phi^i + \left[\int d^2\theta\, W(\Phi) + \text{h.c.}\right]$

성분으로 전개하면:

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu} - i\bar{\lambda}^a\bar{\sigma}^\mu D_\mu\lambda^a + \frac{1}{2}D^a D^a$

$+ |D_\mu\phi_i|^2 + i\bar{\psi}_i\bar{\sigma}^\mu D_\mu\psi_i + F_i^*F_i$

$-\sqrt{2}g(\phi_i^* T^a \psi_i)\lambda^a - \sqrt{2}g\bar{\lambda}^a(\bar{\psi}_i T^a \phi_i) + gD^a(\phi_i^* T^a \phi_i)$

$+ \frac{\partial W}{\partial\phi_i}F_i - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 W}{\partial\phi_i\partial\phi_j}\psi_i\psi_j + \text{h.c.}$

$V(\phi, \bar{\phi}) = V_F + V_D$

F-항 기여:

$V_F = \sum_i \left|\frac{\partial W}{\partial\phi_i}\right|^2$

D-항 기여:

$V_D = \frac{1}{2}\sum_a \left(g\sum_i \phi_i^* T^a \phi_i + \xi^a\right)^2$

여기서 $\xi^a$는 아벨 군 $U(1)$에 대해서만 허용되는 파예-일리오풀로스(Fayet-Iliopoulos) 항입니다.

초대칭 진공의 조건:

$F_i = 0 \quad (\forall i), \qquad D^a = 0 \quad (\forall a)$