MSSM의 게이지 군은 표준모형과 동일합니다:

$G_{\text{MSSM}} = SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$

각 게이지 군에 대응하는 벡터 초다중항:

| 게이지 군 | 게이지 보존 | 가우지노 | |-----------|------------|----------| | $SU(3)_C$ | 글루온 $g^a$ ($a=1,\ldots,8$) | 글루이노 $\tilde{g}^a$ | | $SU(2)_L$ | $W^i$ ($i=1,2,3$) | 위노 $\tilde{W}^i$ | | $U(1)_Y$ | $B$ | 비노 $\tilde{B}$ |

표준모형의 각 바일 페르미온은 카이랄 초다중항에 포함됩니다. 한 세대에 대해:

쿼크 섹터:

| 초다중항 | 구성 $(SU(3)_C, SU(2)_L)_{Y}$ | 페르미온 | 스칼라 (스쿼크) | |---------|-------------------------------|---------|----------------| | $Q$ | $(\mathbf{3}, \mathbf{2})_{1/6}$ | $(u_L, d_L)$ | $(\tilde{u}_L, \tilde{d}_L)$ | | $\bar{U}$ | $(\bar{\mathbf{3}}, \mathbf{1})_{-2/3}$ | $u_R^c$ | $\tilde{u}_R^*$ | | $\bar{D}$ | $(\bar{\mathbf{3}}, \mathbf{1})_{1/3}$ | $d_R^c$ | $\tilde{d}_R^*$ |

렙톤 섹터:

| 초다중항 | 구성 | 페르미온 | 스칼라 (슬렙톤) | |---------|------|---------|----------------| | $L$ | $(\mathbf{1}, \mathbf{2})_{-1/2}$ | $(\nu_L, e_L)$ | $(\tilde{\nu}_L, \tilde{e}_L)$ | | $\bar{E}$ | $(\mathbf{1}, \mathbf{1})_{1}$ | $e_R^c$ | $\tilde{e}_R^*$ |

총 3세대이므로, 물질 스쿼크와 슬렙톤은 각각 12개, 9개입니다.

MSSM에는 두 개의 힉스 카이랄 초다중항이 필요합니다:

$H_u = \begin{pmatrix} H_u^+ \\ H_u^0 \end{pmatrix}, \qquad H_d = \begin{pmatrix} H_d^0 \\ H_d^- \end{pmatrix}$

두 개가 필요한 이유:

1. 삼각 이상(triangle anomaly) 상쇄: 힉시노 $\tilde{H}$는 카이랄 페르미온으로서 게이지 이상에 기여합니다. $H_u$와 $H_d$의 초전하가 반대이므로 이상이 상쇄됩니다:

$\text{Tr}[Y^3] \supset (+\tfrac{1}{2})^3 + (-\tfrac{1}{2})^3 = 0$

2. 유카와 상호작용의 정칙성: 초퍼텐셜은 정칙(holomorphic) 함수이므로 $\Phi$와 $\bar{\Phi}$를 동시에 사용할 수 없습니다. 따라서 위형 쿼크($H_u$)와 아래형 쿼크($H_d$)에 별도의 힉스가 필요합니다.

게이지 불변이고 재규격화 가능한 MSSM의 초퍼텐셜:

$W_{\text{MSSM}} = y_u^{ij} Q_i \cdot H_u\, \bar{U}_j + y_d^{ij} Q_i \cdot H_d\, \bar{D}_j + y_e^{ij} L_i \cdot H_d\, \bar{E}_j + \mu\, H_u \cdot H_d$

여기서:

• $y_u, y_d, y_e$: 유카와 결합 행렬 ($i,j = 1,2,3$은 세대 지수)
• $\mu$: 힉스 질량 매개변수 ($\mu$-문제의 원인)
• $\cdot$는 $SU(2)$ 불변 곱: $A \cdot B = \epsilon_{ab} A^a B^b$

$\mu$-문제: $\mu$는 초대칭을 보존하는 매개변수이므로 자연스럽게 $M_{\text{Planck}}$ 크기여야 하지만, 현상론적으로는 $\mu \sim M_{\text{weak}} \sim 100$ GeV가 필요합니다. 이 계층의 기원을 설명하는 것이 $\mu$-문제입니다.