전역(global) 초대칭: 변환 매개변수 $\xi^\alpha$가 시공간에 의존하지 않음.

$\delta\phi = \xi^\alpha\psi_\alpha, \quad \xi^\alpha = \text{const.}$

국소(local) 초대칭: $\xi^\alpha(x)$가 시공간의 함수.

$\delta\phi = \xi^\alpha(x)\psi_\alpha$

국소 초대칭을 요구하는 이유:

1. 초대칭 대수와 중력의 연결: $\{Q_\alpha, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\} = 2\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}P_\mu$에서, 초대칭의 국소화는 병진 $P_\mu$의 국소화 — 즉 **일반 좌표 변환(일반상대성이론)**을 자동으로 포함합니다.

2. 게이지 원리의 자연스러운 확장: 양-밀스 이론이 내부 대칭의 국소화이듯, 초중력은 초대칭의 국소화입니다.

3. 국소 대칭은 게이지 보존을 요구: 초대칭의 국소화는 그래비티노(스핀 $3/2$)와 중력자(스핀 $2$)의 존재를 필연적으로 요구합니다.

가장 간단한 $\mathcal{N}=1$ 순수 초중력(물질 없이):

$\mathcal{L}_{\text{SUGRA}} = -\frac{M_{\text{Pl}}^2}{2}eR - \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\bar{\psi}_\mu\bar{\sigma}_\nu\tilde{D}_\rho\psi_\sigma$

여기서:

• $e = \det(e^a_\mu)$: 비어바인(vierbein)의 행렬식
• $R$: 리치 스칼라
• $\psi_\mu^\alpha$: 그래비티노 (스핀-$3/2$ 라리타-슈윙거 장)
• $\tilde{D}_\rho$: 로렌츠 공변 미분

이 라그랑지안은 다음 국소 초대칭 변환 하에서 불변입니다:

$\delta e^a_\mu = i(\xi\sigma^a\bar{\psi}_\mu + \psi_\mu\sigma^a\bar{\xi})$

$\delta\psi_\mu = 2\tilde{D}_\mu\xi + \cdots$

중력자($e^a_\mu$, 2 자유도)와 그래비티노($\psi_\mu$, 2 자유도)가 초다중항을 이룹니다.

카이랄 초장 $\Phi^i$를 초중력에 결합하면, 스칼라 퍼텐셜은 전역 초대칭의 $V_F = \sum|F_i|^2$에서 크게 변형됩니다:

$V = e^{K/M_{\text{Pl}}^2}\left(K^{i\bar{j}}D_i W\overline{D_j W} - \frac{3}{M_{\text{Pl}}^2}|W|^2\right) + V_D$

여기서:

• $K(\Phi, \bar{\Phi})$: 케일러 퍼텐셜
• $W(\Phi)$: 초퍼텐셜
• $K^{i\bar{j}}$: 케일러 메트릭 $K_{i\bar{j}} = \partial_i\partial_{\bar{j}}K$의 역행렬
• $D_i W = \partial_i W + \frac{1}{M_{\text{Pl}}^2}(\partial_i K)W$: 케일러 공변 미분

핵심적 차이:

1. $-3|W|^2/M_{\text{Pl}}^2$ 항 때문에 $V$는 음수가 될 수 있습니다. 전역 SUSY에서는 $V \geq 0$이었지만, 초중력에서는 $V < 0$ (AdS 진공)이 가능합니다.

2. 초대칭 진공($D_i W = 0$)에서도 우주상수가 $V = -3e^K|W|^2/M_{\text{Pl}}^2$로 음수일 수 있습니다.